Контрольная работа на тему КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА 151103-12

Содержание


11.1. Составить экономико-математическую модель задачи 3
11.3. Решить задачи 4
11.4. Решить задачи 11
11.7. Решить задачи 18
11.10. Решить задачи 26
11.11. Решить задачи 36

11.1. Составить экономико-математическую модель задачи

11.7. Для производства трех видов изделий А, В, С используется три различных вида сырья. Каждый вид сырья может быть использован в количестве не большем 4, 5, 3,соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на единицу продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице


Определите план производства, при котором достигается максимальная прибыль.
F(X) = x1 + 2x2 + 3x3 > max
при следующих условиях-ограничений.
2x1 + 2x2 + x3?4
x1 + 3x2?5
3x2 + x3?3
11.3. Решить задачи



Решение:
Необходимо найти максимальное значение целевой функции F = 2x1+3x2 > max, при системе ограничений:
x1?4, (1)
x2?3, (2)
x1+x2?8, (3)
x1 ? 0, (4)
x2 ? 0, (5)
Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).
Построим уравнение x1?4. Эта прямая проходит через точку x1 = 4 параллельно оси OX2. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 • 0 – 4 ? 0, т.е. x1 – 4? 0 в полуплоскости правее прямой.
Построим уравнение x2?3. Эта прямая проходит через точку x2 = 3 параллельно оси OX1. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 • 0 – 3 ? 0, т.е. x2 – 3? 0 в полуплоскости выше прямой.
Построим уравнение x1+x2?8 по двум точкам. Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 8. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 8. Соединяем точку (0;8) с (8;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости:1 • 0 + 1 • 0 – 8 ? 0, т.е. x1+x2 – 8? 0 в полуплоскости нижепрямой.




Границы области допустимых решений.
Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.



Рассмотрим целевую функцию задачи F = 2x1+3x2 > max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 2x1+3x2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2; 3). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.


Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1=4
x1+x2=8
Решив систему уравнений, получим: x1 = 4, x2 = 4
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 2*4 + 3*4 = 20

Изменение коэффициентов целевой функции.
Изменение значений коэффициентов c1 и c2 приводит к изменению угла наклона прямой z. Существует интервалы изменения коэффициентов c1 и c2, когда текущее оптимальное решение сохраняется. Задача анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. Необходимо определить интервал оптимальности для отношения c1/c2 (или c2 и c1). Если значение отношения c1/c2 не выходит за пределы этого интервала, то оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным.
Таким образом, в рамках анализа на чувствительность к изменениям коэффициентов целевой функции могут исследоваться вопросы:
1. Каков диапазон изменения того или иного коэффициента целевой функции, при котором не происходит изменения оптимального решения.
2. На сколько следует изменить тот или иной коэффициент целевой функции, чтобы изменить статус некоторого ресурса.
На предыдущем рисунке видно, что функция достигает своего оптимума в точке, которая является пересечением прямых (x1=4) и (x1+x2=8). При изменении коэффициентов целевой функции эта точка останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона линии z будет лежать между углами наклона этих прямых. Алгебраически это можно записать следующим образом:


при условии c1 ? 0
или


при условии c2 ? 0
Таким образом, мы получили две системы неравенств, определяющих интервал оптимальности.
При c2 = 3


или
0 ? c1 ? 3
При c1 = 2


или
0 ? c2 ? 2
Оценка ресурсов.
На данном этапе важно проанализировать следующие аспекты:
1. На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для улучшения полученного оптимального значения целевой функции.
2. На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции.
Оценка ресурса M1
Концевые точки отрезка определяют интервал осуществимости для ресурса M1.
Количество сырья, соответствующего точке (5,3), равно 1·5 + 0·3 = 5
Количество сырья, соответствующего точке (0,8), равно 1·0 + 0·8 = 0
Таким образом, интервал осуществимости для ресурса M1 составляет 0 ? M1 ? 5
Вычислим значение целевой функции в этих точках:
F(5,3) = 2·5 + 3·3 = 24
F(0,8) = 2·0 + 3·8 = 19




Изменение области решений при увеличении запасов ресурса M1
Оценка ресурса M3
Концевые точки отрезка определяют интервал осуществимости для ресурса M3.
Количество сырья, соответствующего точке (4,3), равно 1·4 + 1·3 = 7
Таким образом, интервал осуществимости для ресурса M3 составляет ? M3 ? 7
Вычислим значение целевой функции в этих точках:
F(4,3) = 2·4 + 3·3 =




Изменение области решений при увеличении запасов ресурса M3
yi определяет ценность каждой дополнительной единицы дефицитного ресурса. Чем больше значение yi, тем выше его приоритет при вло