Контрольная на тему Контрольная работа 110523-09

Статика
Задача С1
Жесткая рама, расположенная в вертикальной плоскости, закреплена в точке А шарнирно, а в точке В прикреплена или к невесомому стержню с шарнирами на концах, или к шарнирной опоре на катках.
В точке С к раме привязан трос, перекинутый через блок и несущий на конце груз весом Р = 25 кН. На раму действуют пара сил с моментом М = 100 кН м и две силы.
Определить реакции связей в точках А, В, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,5 м.
Дано:
F1 = 10 кН; ?1 = 300; F4 = 40 кН; ?2 = 600; Р = 25 кН; М = 100 кН м; а = 0,5 м.
Решение:



Рассмотрим равновесие пластины. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на пластину силы: силу F1, силу F4, пару сил с моментом М, натяжение троса Т (по модулю T = Р) и реакции связей
(реакцию неподвижной шарнирной опоры A изображаем двумя ее составляющими, реакция шарнирной опоры на катках направлена перпендикулярно опорной плоскости).
Для полученной плоской системы сил составим три уравнения равновесия. При вычислении моментов сил Fi относительно точки A воспользуемся теоремой Вариньона. Получим:
?Fkx = -RAx – RB sin30 - F4 sin60 + F1 cos30 = 0; (1)
?Fkу = RAy – F4 cos60 + T + F1 sin30 + RB cos30 = 0; (2)
?mA(Fk) = -F4 sin60 x a – F4 cos60 x 3a + T x 3a + F1 sin30 x 2a + M – RB cos30 x a – RB sin30 x 3a = 0 (3)
Подставив в составленные уравнения числовые значения заданных величин и решив эти уравнения, определим искомые реакции.
Из уравнения (3) найдем RB:
RB = (-F4 sin60 x a – F4 cos60 x 3a + T x 3a + F1 sin30 x 2a + M) / (cos30 x a + sin30 x 3a) = (-17,2 – 30 + 37,5 + 5 + 100) / (0,4 + 0,8) = 95,3 / 1,2 = 79,4 кН.
Из уравнения (1) находим RАx:
RАx = – RB sin30 - F4 sin60 + F1 cos30 = -39,7 – 34,4 + 8,6 = -65,5 кН.
Из уравнения (2) найдем RAy:
YA = F4 cos60 - T - F1 sin30 - RB cos30 = 20 – 25 – 5 – 68,3 = -78,3 кН.
Ответ: R
х = -65,5 кН; R
y = -78,3 кН; R
= 79,4 кН. Знаки указывают, что силы RAx и RAy направлены противоположно силам, показанным на рисунке.









Задача С2
Конструкция состоит из жесткого угольника и стержня, которые в точке С или соединены друг с другом шарнирно, или свободно опираются друг о друга. Внешними связями, наложенными на конструкцию, являются в точке А или шарнир, или жесткая заделка; в точке В или гладкая плоскость, или невесомый стержень BB', или шарнир; в точке D или невесомый стержень DD', или шарнирная опора на катках.
На каждую конструкцию действуют: пара сил с моментом М = 60 кН м, равномерно распределенная нагрузка интенсивности q = 20 кН/м и еще две силы.
Определить реакции связей в точках A, B, C, D, вызванные заданными нагрузками. При окончательных расчетах принять а = 0,2 м.


Дано:
М = 60 кН м; q = 20 кН/м; а = 0,2 м; F1 = 10 кН; F3 = 30 кН.
Решение:
Для определения реакций расчленим систему по шарниру С и рассмотрим сначала равновесие стержня ВС. Проведем координатные оси ху и изобразим действующие на стержень силы: реакцию
стержня ВВ( направим вдоль этого стержня, а действие отброшенного угольника АНС представим составляющими
и
реакции шарнира С, а также распределенная нагрузка q.



Для полученной плоской системы сил составляем три уравнения равновесия:

(1)

(2)

(3)
Из уравнения (1) находим:
RCx = -q x 4a = -16 кН.
Из уравнения (3) находим:
RB = -q x 4a / 8a = -16 / 1,6 = -10 кН.
Из уравнения (2) находим:
RCy = RB + q х 4а = -10 + 16 = 6 кН.
Знак минус показывает, что реакции RCх и RВ направлены противоположно показанным на рисунке.
Теперь рассмотрим равновесие угольника.
На него действуют: силы F3, F1, пара сил с моментом М, реакция RD стержня DD', составляющие
и
реакции шарнирно-неподвижной опоры А и составляющие
и
реакции
, направленные противоположно соответствующим реакциям, приложенным к стержню ВС.


Для этой плоской системы сил тоже составляем три уравнения равновесия:

(4)

(5)

(6)
Из уравнения (6) находим:


Из уравнения (4) находим:

кН.
Из уравнения (5) находим:

кН
Ответ: RАх = 105,6 кН; RАу = -18,1 кН; RВ = -10 кН; RСх = -16 кН; RСу = 6 кН; RD = -64,2 кН. Знаки указывают, что реакции RАу, RВ, RСх, RD направлены противоположно показанным на рисунке.

Задача С3
Шесть невесомых стержней соединены своими концами шарнирно друг с другом в двух узлах и прикреплены другими концами к неподвижным опорам A, B, C, D. Стержни и узлы (узлы расположены в вершинах Н, K, L или М прямоугольного параллелепипеда). В узле Н приложена сила Р = 200 Н; в узле М приложена сила Q = 100 Н. Сила Р образует с положительными направлениями координатных осей x, y, z углы, равные соответственно ?1 = 450, ?1 = 600, ?1 = 600, а сила Q – углы ?2 = 600, ?2 = 450, ?2 = 600.
Грани параллелепипеда, параллельные плоскости ху, - квадраты. Диагонали других боковых граней образуют с плоскостью ху угол ? = 600, а диагональ параллелепипеда образует с этой плоскостью угол ? = 510. Определить усилия в стержнях.
Дано:
Узлы: Н, М. Стержни: НМ, НА, НВ, МА, МС, MD. Р = 200 Н; Q = 100 Н.
Решение:
Рассмотрим равновесие узла Н, в котором сходятся стержни 1, 2, 3. На узел действуют сила Р и реакции N1, N2, N3 стержней, которые направим по стержням от узла, считая стержни растянутыми. Составим уравнения равновесия этой пространственной системы сходящихся сил:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)
Из уравнения (3):

кН



Из уравнения (1):

45,7 кН
Из уравнения (2):

-131,99 кН
Рассмотрим равновесие узла М. На узел действуют сила Q и реакции N4, N5, N6. Составим уравнения равновесия:

,
; (4)

,
; (5)

,
; (6)
Из уравнения (6):

79,4 кН
Из уравнения (4):

7,7 кН
Из уравнения (5):

-113,4 кН

Ответ: N1 = -200 кН; N2 = -131,99 кН; N3 = 45,7 кН; N4 = 79,4 кН; N5 = -113,4 кН; N6 = 7,7 кН. Знаки показывают, что стержни 1, 2 и 5 сжаты, остальные – растянуты.

Задача С4
Две однородные прямоугольные тонкие плиты жестко соединены (сварены) под прямым углом друг к другу и закреплены сферическим шарниром ( или подпятником) в точке А, цилиндрическим шарниром (подшипником) в точке В и невесомым стержнем 1; все стержни прикреплены к плитам и к неподвижным опорам шарнирами.
Веем большей плиты Р1 = 5 кН, вес меньшей плиты Р2 = 3 кН. Каждая из плит расположена параллельно одной из координатных плоскостей (плоскость ху – горизонтальная).
На плиты действуют пара сил с моментом М = 4 кН м, лежащая в плоскости одной из плит, и две силы.
Определить реакции связей в точках А и В и реакцию стержня (стержней). При подсчетах принять а = 0,6 м.
Дано:
Р1 = 5 кН; Р2 = 3 кН; М = 4 кН м; F1 = 6 кН; ?1 = 600; F2 = 8 кН; ?2 = 300; а = 0,6 м.
Решение:



Рассмотрим равновесие плиты. На плиту действуют заданные силы Р1, Р2, F1, F2 и пара с моментом М, а также реакции связей. Реакцию сферического шарнира разложим на три составляющие ХА, YA и ZА, цилиндрического подшипника на две составляющие YB, ZB; реакцию N стержня направляем вдоль стержня, предполагая, что он растянут.
Составляем шесть уравнений равновесия:

,
; (1)

,
; (2)

,
; (3)

,
; (4)

,
; (5)

,
. (6)
Из уравнения (6):

-5,6 кН
Из уравнения (2):

0,4 кН
Из уравнения (5):

4,2 кН
Из уравнения (4):

-3,4 кН
Из уравнения (1):

1 кН
Из уравнения (3):

8,7 кН

Ответ: ХА = 1 кН; YА = 0,4 кН; ZА = 8,7 кН; YВ = -5,6 кН; ZВ = -3,4 кН; N = 4,2 кН. Знаки указывают, что реакции YВ и ZВ направлены противоположно.














Кинематика
Задача К1
Задача К1а. Точка В движется в плоскости ху. Закон движения точки задан уравнениями: x = f1(t), y = f2(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.
Определить уравнение траектории точки. Для момента времени t1 = 1 с найти скорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны в соответствующей точке траектории.
Дано:
y = 2t2 + 2; x = t – 4; t1 = 1 с.
Решение:


Для определения траектории исключим из заданных уравнений движения время t, воспользовавшись подстановкой:
t = х + 4; y = 2 х (2 х (х + 4)2 + 2) = х2 + 8х + 17
Из полученного выражения следует, что траекторией движения точки является парабола.
Найдем проекции вектора скорости на оси координат:




Подставив t1 = 1 с в полученные выражения, находим

см/с;
см/с
Скорость точки в момент времени t1 = 1 с


Найдем проекции вектора ускорения: