Контрольная работа на тему Контрольная работа 140328-04

Ситуация 1
Построить математическую модель задачи оптимизации производства.
Магазин реализует три вида продукции П1, П2, П3. Для этого используется два ограниченных ресурса – полезная площадь помещений, которая с учетом коэффициента оборачиваемости составляет 450 м2, и рабочее время работников магазина – 600 человеко-часов. Товарооборот должен быть не менее 240 000 у.е. Необходимо разработать план товарооборота, доставляющего максимум прибыли. Затраты ресурсов на реализацию и полученная при этом прибыль представлены в таблице.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы
Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 50x1+65x2+70x3 при следующих условиях-ограничений.
1.5x1+2x2+3x3?450
3x1+2x2+1.5x3?600
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5.
1.5x1 + 2x2 + 3x3 + 1x4 + 0x5 = 450
3x1 + 2x2 + 1.5x3 + 0x4 + 1x5 = 600

Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5

x4
450
1.5
2
3
1
0

x5
600
3
2
1.5
0
1

F(X0)
0
-50
-65
-70
0
0

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В индексной строке F(x) выбираем максимальный по модулю элемент. В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5
min

x4
450
1.5
2
3
1
0
150

x5
600
3
2
1.5
0
1
400

F(X1)
0
-50
-65
-70
0
0
0

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:


B
x1
x2
x3
x4
x5

450 / 3 = 150
1.5 / 3 = 0.5
2 / 3 = 0.67
3 / 3 = 1
1 / 3 = 0.33
0 / 3 = 0
















После преобразований получаем новую таблицу:


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5

x3
150
0.5
0.67
1
0.33
0

x5
375
2.25
1
0
-0.5
1

F(X1)
10500
-15
-18.33
0
23.33
0


Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (0.67) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5
min

x3
150
0.5
0.67
1
0.33
0
225

x5
375
2.25
1
0
-0.5
1
375

F(X2)
10500
-15
-18.33
0
23.33
0
0


После преобразований получаем новую таблицу:


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5

x2
225
0.75
1
1.5
0.5
0

x5
150
1.5
0
-1.5
-1
1

F(X2)
14625
-1.25
0
27.5
32.5
0

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:

Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (1.5) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5
min

x2
225
0.75
1
1.5
0.5
0
300

x5
150
1.5
0
-1.5
-1
1
100

F(X3)
14625
-1.25
-0
27.5
32.5
0
0


После преобразований получаем новую таблицу:


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5

x2
150
0
1
2.25
1
-0.5

x1
100
1
0
-1
-0.67
0.67

F(X3)
14750
0
0
26.25
31.67
0.83

Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.
Окончательный вариант симплекс-таблицы:


Базис
В
x1
x2
x3
x4
x5

x2
150
0
1
2.25
1
-0.5

x1
100
1
0
-1
-0.67
0.67

F(X4)
14750
0
0
26.25
31.67
0.83

Оптимальный план можно записать так:
x2 = 150
x1 = 100
F(X) = 50*100 + 65*150 = 14750

Ситуация 2
Построить математическую модель задачи. Составить задачу, двойственную к исходной.
На основании информации, приведенной в таблице, составить план производства, максимизирующий объ?м прибыли.

Определим максимальное значение целевой функции F(X) = 40x1 + 60x2 при следующих условиях-ограничений.
2x1 + 4x2?2000
4x1 + x2?1400
2x1 + x2?800
В 1-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x3. В 2-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x4. В 3-м неравенстве смысла (?) вводим базисную переменную x5.
2x1 + 4x2 + 1x3 + 0x4 + 0x5 = 2000
4x1 + 1x2 + 0x3 + 1x4 +