Курсовая работа на тему Метод областей для решения задач с параметрами

Оглавление


Введение 3
1. Теоретический аспект решения задач с параметрами 5
1.1 Понятие параметра 5
1.2 Задачи с параметрами: сущность, типы и методы решения 10
2. Практическое применение метода областей для решения задач с параметрами 15
2.1 Характеристика метода областей 15
2.2 Метод областей на примере решения задач 17
Заключение 26
Список литературы 28


Введение

В последние годы на вступительных экзаменах, на итоговом тестировании в форме ЕГЭ предлагаются задачи с параметрами. Эти задачи позволяют диагностировать уровень математического и, главное, логического мышления абитуриентов, способность осуществлять исследовательскую деятельность, а также просто знание основных разделов школьного курса математики.
Задачи с параметром – одна из самых интересных и многогранных тем в математике. Задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры у школьников, но их решение вызывает у них значительные затруднения. Это связано с тем, что каждое уравнение с параметрами представляет собой целый класс обычных уравнений, для каждого из которых должно быть получено решение.
Актуальность данной темы очевидна. Ведь уравнения и неравенства с параметром стали привычной частью вступительных экзаменов ЕГЭ, на ГИА и на вступительных экзаменах в вузы. И хотя они нередко представлены в многочисленных пособиях для абитуриентов, в школьной практике такие задачи встречаются редко.
Объект исследования – решение задач с параметрами.
Предмет исследования – метод областей для решения задач с параметрами.
Цель исследования – изучить особенности применения метода областей для решения задач с параметрами.
Задачи исследования:
– изучить понятие параметра в математике;
– рассмотреть сущность, типы и методы решения задач с параметрами;
– представить характеристику метода областей;
– рассмотреть практические примеры применения метода областей на примере решения задач с параметрами.
Структура работы: введение, две главы, заключение, список использованной литературы.


1. Теоретический аспект решения задач с параметрами

1.1 Понятие параметра

Параметр (от греческого слова parametron – отмеривающий) – величина, значение которой служат для различения некоторого множества между собой.
Под задачами с параметрами понимают задачи, в которых технический и логический ход решения и форма результата зависят от входящих в условие величин, численные значения которых не заданы конкретно, но должны считаться известными. Изучению задач с параметрами в школе отводится незначительное место, хотя неявно с этим понятием учащиеся сталкиваются, например, при изучении функции y=kx, для этой функции в качестве параметра выступает коэффициент k прямой пропорциональности.
В математике параметры вводятся для обозначения некоторого класса объектов, обладающих общими свойствами. Например, y=log2x с параметром a определяет класс логарифмических функций. Множеству значений a > 1 соответствуют частные логарифмические функции, обладающие одинаковыми свойствами. Множеству значений 0 < a < 1 так же соответствую обладающие общими свойствами частные логарифмические функции, но уже другого рода. На каждом из этих множеств можно рассматривать параметр как постоянную величину, а при переходе значений параметра из одного множества в другое – как переменную величину.
Если параметру, содержащемуся в уравнении (неравенстве) придать некоторое числовое значение, то возможен один из двух случаев:
1) получится уравнение (неравенство), содержащее лишь данные числа и неизвестные, и не содержащие параметров;
2) получится условие, лишенное смысла.
В первом случае значение параметра называют допустимым, во втором – недопустимым. При решении задач допустимые значения параметров определяются из конкретного смысла. Например, для a < 0 значение выражения logax для любого x не определено.
Рассмотрим методическую концепцию подхода к изучению темы «Уравнения с параметром». Итак, что такое уравнение с параметром? Пусть дано уравнение
F(x,a) = 0(1)
Если ставится задача: отыскать такие пары (x,a), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (1) – это уравнение с двумя переменными x и a. Однако относительно уравнения (1) можно поставить другую задачу: если придать переменной a какие либо фиксированное значение, то уравнение (1) можно рассматривать как уравнение с олной переменной x. Решения этого уравнения определяются выбранным значением a.
Если ставиться задача для каждого значения а из некоторого числового множества А решить уравнение (1) относительно x, то уравнение (1) называют уравнение с переменной x и параметром а, а множество А – областью изменения параметра.
Уравнение (1) – это, по существу, краткая запись семейства уравнений. Уравнения этого семейства получаются из уравнения (1) при различных конкретных значениях параметра а.
Так, уравнение 2а(а-1)x=a-2, у которого область изменения параметра а является множество А={-1;0;1;2;3}, есть краткая запись следующего семейства уравнений:
Под область изменения параметра обычно подразумевают (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения с уравнения с параметром формулируют следующим образом: решить уравнение (1) (с переменной x и параметром а) – это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из уравнения (1) при любых действительных значениях параметра.
Ясно, что выписать каждое слово из бесконечного семейства уравнений невозможно. Тем не менее, каждое уравнение семейства должно быть решено. Сделать это можно, если, например, по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра на подмножества и решить затем заданное уравнен