Контрольная на тему Контрольная работа 091220

Контрольная работа по теме “Линейное программирование”
Вариант №2

Задача 1.

Найти область решений и область допустимых решений системы неравенств:

/1/
Решение
Решим задачу графическим методом. Для этого, определим область решений системы, как пересечение полуплоскостей описываемых неравенствами системы /1/, построив графики соответствующих уравнений /2/ в системе координат х10х2.

/2/
На рисунке отображены графики уравнений /2/, а стрелками показаны направления полуплоскостей соответствующих неравенств (их области решений). Заштрихованная область является общей для всех полуплоскостей и есть областью допустимых решений системы неравенств /1/.

Задача 2.

Найти область решений и область допустимых решений и определить координаты угловых точек области допустимых решений системы неравенств:

/1/
Решение
Решим задачу графическим методом. Для этого, определим область допустимых решений системы, как пересечение полуплоскостей описываемых неравенствами системы /1/, построив графики соответствующих уравнений /2/ в системе координат х10х2.

/2/
На рисунке отображены графики уравнений /2/, а стрелками показаны направления полуплоскостей соответствующих неравенств (их области решений). Заштрихованная область ABCD является общей для всех полуплоскостей и есть областью допустимых решений системы неравенств /1/.
Определим координаты угловых точек:
Точка A находится на пересечении прямых /2.1/ и /2.2/ следовательно, ее координаты находятся как решение системы уравнений /3/

/3/
Точка B находится на пересечении прямых /2.3/ и /2.2/ следовательно, ее координаты находятся как решение системы уравнений /4/

/4/
Координаты точек C и D определяются по рисунку. Таким образом, имеем: A(1,6; 0,6), В(
), С(0; 6), D(0; 3).

Задача 3.

Дана задача линейного программирования

/1/
при ограничениях:

/2/
Графическим методом найти оптимальные решения при стремлении целевой функции к максимальному и минимальному значениям.
Решение
Решаем задачу графическим методом. Для этого, определим область допустимых решений системы /2/, как пересечение полуплоскостей описываемых неравенствами системы, построив графики соответствующих уравнений /3/ в системе координат х10х2.

/3/
На рисунке отображены графики уравнений /3/, а стрелками показаны направления полуплоскостей соответствующих неравенств (их области решений). Заштрихованная область ABCD является общей для всех полуплоскостей и есть областью допустимых решений системы неравенств /2/.
Исходя из целевой функции /1/, видно, что линии уровня – прямые и нормальны к вектору G(3; -1). А значит, целевая функция достигает экстремальных значений в точках В и D. Определим координаты данных точек.
Точка D находится на пересечении прямых /3.2/ и /3.3/ следовательно, ее координаты находятся как решение системы уравнений /4/

/4/
Координата точки B определяется по рисунку. Таким образом, имеем:
В(6; 0), D(1,2; 1,2). /5/
В точке B:
/6/
В точке D:
/7/
Следовательно, /5/ - оптимальные решения, при стремлении целевой функции к максимальному /6/ и минимальному /7/ значениям.

Задача 4.

Дана исходная задача линейного программирования

/1/
при ограничениях:

/2/

/3/
Составить математическую модель симметричной двойственной задачи. По решению дво