Контрольная на тему Контрольная работа 121221-02-1

Контрольная работа № 1

103) По прямой линии движутся две материальные точки согласно уравнениям: x1 =A1 + B1t + C1t2 и х2=A2 + B2t + C2t2, где A1 = 10 м; B1 = 1 м/с; С1 = - 2 м/с2; A2 = 3 м; В2 = 2 м/с; С2= 0,2 м/с2. В какой момент времени ? скорости этих точек будут одинаковы? Найти ускорение а1 и а2 этих точек в момент t=3 с.

Дано:
x1 =A1 + B1t + C1t2
х2=A2 + B2t + C2t2
A1 = 10 м
B1 = 1 м/с
С1 = - 2 м/с2
A2 = 3 м
В2 = 2 м/с
С2= 0,2 м/с2
t=3 с
-------------------------
? -? а1 -? а2 -?

Решение:
Запишем уравнения движения точек:
x1 =10 + t - 2t2
х2 = 3 + 2t + 0,2t2
Скорость – первая производная от координаты: ?х = dx/dt
Тогда скорость точек равна:
?х1 = dx1/dt = d(10 + t - 2t2)/dt = 1 - 4t (1)
?х2 = dx2/dt = d(3 + 2t + 0,2t2)/dt = 2 – 0,4t (2)
Найдем момент времени ?, когда скорости точек будут равными, т.е.: ?х1 = ?х2
Приравниваем правые части (1) и (2):
1 - 4? = 2 – 0,4?
3,6? = -1 (знак «минус» означает, что в данный момент времени проекция скорости первой точки отрицательная)
? = 1/3,6 ? 0,28 c

Ускорение – первая производная от скорости: ах = d?x/dt
Тогда ускорение точек равно:
ах1 = d?1/dt = d(1 - 4t)/dt = - 4 м/с2
ах2 = d?2/dt = d(2 – 0,4t)/dt = – 0,4 м/с2

Ускорения точек не зависят от времени: движение равноускоренное



Ответ: ? ? 0,28 c; ах1 = - 4 м/с2; ах2 = – 0,4 м/с2








113) Две одинаковые лодки массами m=200 кг каждая (вместе с человеком и грузами, находящимися в лодках) движутся параллельными курсами навстречу друг другу с одинаковыми cкостями ? = 1 м/с. Когда лодки поравнялись, то с первой лодки на вторую и со второй на первую одновременно перебрасывают грузы массами m1 = 20 кг. Определить скорости u1 и u2 лодок после перебрасывания грузов.

Дано:
m=200 кг
? = 1 м/с
m1 = 20 кг
-------------
u1 -? u2 -?

Решение:
Воспользуемся законом сохранения импульса. Так как лодки одинаковые и перебрасываемые грузы одинаковы, то и скорости лодок будут равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому определим только скорость первой лодки:
m• u1 = (m – m1)•? + m1•? (1),
где m – масса лодки,
m1 – масса груза,
u1 – cкорость первой лодки после перебрасывания грузов.
В проекциях на ось Х соотношение (1) примет вид:
m• u1 = (m – m1)•? - m1•?
Откуда выразим искомую скорость:

u1 = [(m – m1)•? - m1•?]/ m = [m•? – m1•? - m1•?]/ m = [m – 2m1]• ? / m (2)
Проверка размерности:
[u1] = [кг- кг] •м/с / кг = м/с
Подставляя в (2) численные значения данных величин, вычислим скорость первой лодки:
u1 = [(200 - 2•20]•1/ 200 =160/200 = 0,8 м/с.
Тогда скорость второй лодки равна: u2 = -0,8 м/с.





Ответ: u1 = 0,8 м/с; u2 = -0,8 м/с.













118) По небольшому куску мягкого железа, лежащему на наковальне массой m1 = 300 кг, ударяет молот массой m2 = 8 кг. Определить КПД ? удаpa, если удар неупругий. Полезной считать энергию, затраченную на деформацию куска железа.

Дано:
m1 =300 кг
m2 = 8 кг
-------------
? -?

Решение:
Так как удар неупругий, то происходит слипание тел, и они после удара двигаются вместе.
До удара кинетическая энергия молота равна: Ek2 = m2•?2/2 (1)
До удара кинетическая энергия наковальни равна: Ek1 = 0 (она покоилась).
После удара кинетическая энергия молота и наковальни равна: Ek = (m1 + m2)•u2/2 (2),
где u – общая скорость молота и наковальни.
Воспользуемся законом сохранения импульса: m2•? = (m1 + m2)•u
Откуда выразим общую скорость молота и наковальни: u = m2•?/(m1 + m2) (3)
Подставим (3) в (2):
Ek = (m1 + m2)• m22•?2 / 2• (m1 + m2)2 = m22•?2 / 2• (m1 + m2) (4)
Идет на деформацию разница кинетической энергии: ?Ек = Ек2 – Ек (5)
Подставим (1) и (4) в (5):
?Ек = m2•?2/2 – m22•?2 / 2• (m1 + m2) (6)
КПД удара равен отношению изменения кинетической энергии к первоначальной кинетической энергии молота: ? = ?Ек/Ek2 (7)
Подставим (1) и (6) в (7):
? = [m2•?2/2 – m22•?2 / 2• (m1 + m2)]/ m2•?2/2 = 1 – [m2/(m1 + m2)] (8)
Подставляем в (8) численные значения данных величин и вычислим КПД удара:
? = 1 – [8/(300 + 8)] ? 1 – 0,026 ? 0,974 ? 97,4%











Ответ: ? ? 97,4%













139) Из пружинного пистолета с пружиной жесткостью k = 150 Н/м был произведен выстрел пулей массой m = 8 г. Определить скорость ? пули при вылете ее из пистолета, если пружина была сжата на ?x=4 см.

Дано:
k = 150 Н/м
m = 8 г = 0,008 кг
?x=4 см = 0,04 м
----------------------
? -?

Решение:
Кинетическая энергия пули после выстрела: Ek = m•?2/2 (1),
где ? – скорость пули.
Эта энергия идет на деформацию пружины.
Энергия деформированной пружины: Eр = k•(?x)2/2 (2)
По закону сохранения механической энергии: Eр = Ek (3)
Подставим (1) и (2) в (3), получим: k•(?x)2/2 = m•?2/2
Откуда выразим искомую величину скорости пули:
m•?2 = k•(?x)2 > ? = (k•(?x)2/m)1/2 (4)
Проверка размерности:
[?] = (Н•м2/м•кг)1/2 = (кг•м2/кг•с2)1/2 = (м2/с2) 1/2
Подставим в (4) численные значения данных величин и вычислим скорость пули при выстреле из пистолета:
? = (150•(0,04)2/0,008)1/2 = 0,04•(150/0,008)1/2 ? 5,48 м/с





















Ответ: ? ? 5,48 м/с






145) Стержень вращается вокруг оси, проходящей через его середину согласно уравнению ? = At+Bt3, где А = 2 рад/с; В = 0,2 рад/с3. Определить вращающий момент M, действующий на стержень через t = 2 с после начала вращения, если момент инерции стержня J = 0,048 кг м2.

Дано:
? = A•t+B•t3
А = 2 рад/с = 2 с-1
В = 0,2 рад/с3 = 0,2 с-3
t = 2 с
J = 0,048 кг м2
-----